Arccotangent Logarithmic Formulation

Theorem

For any real number $x$:

$\arccot x = -\dfrac i 2 \map \ln {\dfrac {i x - 1} {i x + 1} }$

where $\arccot x$ is the arccotangent and $i^2 = -1$.

Proof

Assume $y \in \R$, $ -\dfrac \pi 2 \le y \le \dfrac \pi 2 $.

$\ds y$

$=$

$\ds \arccot x$

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds x$

$=$

$\ds \cot y$

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds x$

$=$

$\ds i \dfrac {e^{i y} + e^{-i y} } {e^{i y} - e^{-i y} }$

Euler's Cotangent Identity

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds x$

$=$

$\ds i \dfrac {e^{i y} \paren {e^{i y} + e^{-i y} } } {e^{i y} \paren {e^{i y} - e^{-i y} } }$

multiplying top and bottom by $e^{i y}$

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds x$

$=$

$\ds i \frac {e^{2 i y} + 1} {e^{2 i y} - 1 }$

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds i x$

$=$

$\ds \frac {1 + e^{2 i y} } {1 - e^{2 i y} }$

$ i^2 = -1 $

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds i x \paren {1 - e^{2 i y} }$

$=$

$\ds 1 + e^{2 i y}$

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds i x - i x e^{2 i y}$

$=$

$\ds 1 + e^{2 i y}$

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds e^{2 i y} + i x e^{2 i y}$

$=$

$\ds i x - 1$

rearranging

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds e^{2 i y} \paren {1 + i x }$

$=$

$\ds i x - 1$

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds e^{2 i y}$

$=$

$\ds \frac {i x - 1} {i x + 1}$

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds 2 i y$

$=$

$\ds \map \ln {\dfrac {i x - 1} {i x + 1} }$

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds y$

$=$

$\ds \dfrac 1 {2 i} \map \ln {\dfrac {i x - 1} {i x + 1} }$

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds y$

$=$

$\ds \dfrac i i \times \dfrac 1 {2 i} \map \ln {\dfrac {i x - 1} {i x + 1} }$

multiplying top and bottom by $i$

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds y$

$=$

$\ds -\dfrac i 2 \map \ln {\dfrac {i x - 1} {i x + 1} }$

$\blacksquare$

Theorem

Proof

Also see