De Polignac's False Conjecture/Investigation

De Polignac's False Conjecture

It is seen by direct investigation that the first few integers support the conjecture.

As follows:

\(\ds 3\) \(=\) \(\ds 2^0 + 2\)
\(\ds 5\) \(=\) \(\ds 2^1 + 3\)
\(\ds 7\) \(=\) \(\ds 2^2 + 3\)
\(\ds 9\) \(=\) \(\ds 2^1 + 7\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^2 + 5\)
\(\ds 11\) \(=\) \(\ds 2^2 + 7\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^3 + 3\)
\(\ds 13\) \(=\) \(\ds 2^1 + 11\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^3 + 5\)
\(\ds 15\) \(=\) \(\ds 2^1 + 13\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^2 + 11\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^3 + 7\)
\(\ds 17\) \(=\) \(\ds 2^2 + 13\)
\(\ds 19\) \(=\) \(\ds 2^1 + 17\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^3 + 11\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^4 + 3\)
\(\ds 21\) \(=\) \(\ds 2^1 + 19\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^2 + 17\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^3 + 13\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^4 + 5\)
\(\ds 23\) \(=\) \(\ds 2^2 + 19\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^4 + 7\)
\(\ds 25\) \(=\) \(\ds 2^1 + 23\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^3 + 17\)
\(\ds 27\) \(=\) \(\ds 2^3 + 19\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^4 + 11\)
\(\ds 29\) \(=\) \(\ds 2^4 + 13\)
\(\ds 31\) \(=\) \(\ds 2^1 + 29\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^3 + 23\)
\(\ds 33\) \(=\) \(\ds 2^1 + 31\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^2 + 29\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^4 + 17\)
\(\ds 35\) \(=\) \(\ds 2^2 + 31\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^4 + 19\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^5 + 3\)
\(\ds 37\) \(=\) \(\ds 2^3 + 29\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^5 + 5\)
\(\ds 39\) \(=\) \(\ds 2^1 + 37\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^3 + 31\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^4 + 23\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^5 + 7\)
\(\ds 41\) \(=\) \(\ds 2^2 + 37\)
\(\ds 43\) \(=\) \(\ds 2^1 + 41\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^5 + 11\)
\(\ds 45\) \(=\) \(\ds 2^1 + 43\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^2 + 41\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^3 + 37\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^4 + 29\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^5 + 13\)
\(\ds 47\) \(=\) \(\ds 2^2 + 43\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^4 + 31\)
\(\ds 49\) \(=\) \(\ds 2^1 + 47\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^3 + 41\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^5 + 17\)
\(\ds 51\) \(=\) \(\ds 2^2 + 47\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^3 + 43\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^5 + 19\)
\(\ds 53\) \(=\) \(\ds 2^4 + 37\)
\(\ds 55\) \(=\) \(\ds 2^1 + 53\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^3 + 47\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^5 + 23\)
\(\ds 57\) \(=\) \(\ds 2^2 + 53\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^4 + 41\)
\(\ds 59\) \(=\) \(\ds 2^4 + 43\)
\(\ds 61\) \(=\) \(\ds 2^1 + 59\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^3 + 53\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^5 + 29\)
\(\ds 63\) \(=\) \(\ds 2^1 + 61\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^2 + 59\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^4 + 47\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^5 + 31\)
\(\ds 65\) \(=\) \(\ds 2^2 + 61\)
\(\ds \) \(=\) \(\ds 2^6 + 1\)

$\blacksquare$


Also see

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