Euler's Cosine Identity/Proof 3

Theorem

$\cos z = \dfrac {e^{i z} + e^{-i z} } 2$

$\text {(1)}: \quad$

$\ds e^{i z}$

$=$

$\ds \cos z + i \sin z$

$\text {(2)}: \quad$

$\ds e^{-i z}$

$=$

$\ds \cos z - i \sin z$

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds e^{i z} + e^{-i z}$

$=$

$\ds \paren {\cos z + i \sin z} + \paren {\cos z - i \sin z}$

$(1) + (2)$

$\ds $

$=$

$\ds 2 \cos z$

simplifying

$\ds \leadsto \ \ $

$\ds \frac {e^{i z} + e^{-i z} } 2$

$=$

$\ds \cos z$

$\blacksquare$

1960: Walter Ledermann: Complex Numbers ... (previous) ... (next): $\S 4.5$. The Functions $e^z$, $\cos z$, $\sin z$: $\text{(ii)}$: $(4.17)$