Smallest Positive Integer with 5 Fibonacci Partitions

Theorem

The smallest positive integer which can be partitioned into distinct Fibonacci numbers in $5$ different ways is $24$.

Proof

$\ds 1$

$=$

$\ds 1$

$1$ way

$\ds 2$

$=$

$\ds 2$

$1$ way

$\ds 3$

$=$

$\ds 3$

$\ds $

$=$

$\ds 2 + 1$

$2$ ways

$\ds 4$

$=$

$\ds 3 + 1$

$1$ way

$\ds 5$

$=$

$\ds 5$

$\ds $

$=$

$\ds 3 + 2$

$2$ ways

$\ds 6$

$=$

$\ds 5 + 1$

$\ds $

$=$

$\ds 3 + 2 + 1$

$2$ ways

$\ds 7$

$=$

$\ds 5 + 2$

$1$ way

$\ds 8$

$=$

$\ds 8$

$\ds $

$=$

$\ds 5 + 3$

$\ds $

$=$

$\ds 5 + 2 + 1$

$3$ ways

$\ds 9$

$=$

$\ds 8 + 1$

$\ds $

$=$

$\ds 5 + 3 + 1$

$2$ ways

$\ds 10$

$=$

$\ds 8 + 2$

$\ds $

$=$

$\ds 5 + 3 + 2$

$2$ ways

$\ds 11$

$=$

$\ds 8 + 3$

$\ds $

$=$

$\ds 8 + 2 + 1$

$\ds $

$=$

$\ds 5 + 3 + 2 + 1$

$3$ ways

$\ds 12$

$=$

$\ds 8 + 3 + 1$

$1$ way

$\ds 13$

$=$

$\ds 13$

$\ds $

$=$

$\ds 8 + 5$

$\ds $

$=$

$\ds 8 + 3 + 2$

$3$ ways

$\ds 14$

$=$

$\ds 13 + 1$

$\ds $

$=$

$\ds 8 + 5 + 1$

$\ds $

$=$

$\ds 8 + 3 + 2 + 1$

$3$ ways

$\ds 15$

$=$

$\ds 13 + 2$

$\ds $

$=$

$\ds 8 + 5 + 2$

$2$ ways

$\ds 16$

$=$

$\ds 13 + 3$

$\ds $

$=$

$\ds 13 + 2 + 1$

$\ds $

$=$

$\ds 8 + 5 + 3$

$\ds $

$=$

$\ds 8 + 5 + 2 + 1$

$4$ ways

$\ds 17$

$=$

$\ds 13 + 3 + 1$

$\ds $

$=$

$\ds 8 + 5 + 3 + 1$

$2$ ways

$\ds 18$

$=$

$\ds 13 + 5$

$\ds $

$=$

$\ds 13 + 3 + 2$

$\ds $

$=$

$\ds 8 + 5 + 3 + 2$

$3$ ways

$\ds 19$

$=$

$\ds 13 + 5 + 1$

$\ds $

$=$

$\ds 13 + 3 + 2 + 1$

$\ds $

$=$

$\ds 8 + 5 + 3 + 2 + 1$

$3$ ways

$\ds 20$

$=$

$\ds 13 + 5 + 2$

$1$ way

$\ds 21$

$=$

$\ds 21$

$\ds $

$=$

$\ds 13 + 8$

$\ds $

$=$

$\ds 13 + 5 + 3$

$\ds $

$=$

$\ds 13 + 5 + 2 + 1$

$4$ ways

$\ds 22$

$=$

$\ds 21 + 1$

$\ds $

$=$

$\ds 13 + 8 + 1$

$\ds $

$=$

$\ds 13 + 5 + 3 + 1$

$3$ ways

$\ds 23$

$=$

$\ds 21 + 2$

$\ds $

$=$

$\ds 13 + 8 + 2$

$\ds $

$=$

$\ds 13 + 5 + 3 + 2$

$3$ ways

$\ds 24$

$=$

$\ds 21 + 3$

$\ds $

$=$

$\ds 21 + 2 + 1$

$\ds $

$=$

$\ds 13 + 8 + 3$

$\ds $

$=$

$\ds 13 + 8 + 2 + 1$

$\ds $

$=$

$\ds 13 + 5 + 3 + 2 + 1$

$5$ ways

This sequence is A000119 in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (N. J. A. Sloane (Ed.), 2008).

$\blacksquare$

Sources

1966: David A. Klarner: Representations of $n$ as a Sum of Distinct Elements from Special Sequences (The Fibonacci Quarterly Vol. 4: pp. 289 – 306)

1997: David Wells: Curious and Interesting Numbers (2nd ed.) ... (previous) ... (next): $24$