Square Modulo 4

Theorem

Let $x \in \Z$ be an integer.

Then $x$ is:

even if and only if $x^2 \equiv 0 \pmod 4$

odd if and only if $x^2 \equiv 1 \pmod 4$

$\ds x$

$=$

$\ds 2 k$

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds x^2$

$=$

$\ds \paren {2 k}^2$

$\ds $

$=$

$\ds 4 k^2$

$\ds $

$\equiv$

$\ds 0$

$\ds \pmod 4$

$\Box$

$\ds x$

$=$

$\ds 2 k + 1$

$\ds \leadstoandfrom \ \ $

$\ds x^2$

$=$

$\ds \paren {2 k + 1}^2$

$\ds $

$=$

$\ds 4 \paren {k^2 + k} + 1$

$\ds $

$\equiv$

$\ds 1$

$\ds \pmod 4$

$\blacksquare$

1980: David M. Burton: Elementary Number Theory (revised ed.) ... (previous) ... (next): Chapter $2$: Divisibility Theory in the Integers: $2.1$ The Division Algorithm